(지승훈의 옵션길라잡이)옵션민감도-감마①

[edaily] 옵션의 민감도 중 감마(Gamma)는 다소 특이한 지표이다. 왜냐하면 다른 민감도가 옵션의 가격변화를 측정하는데 반해 감마는 델타의 변화를 측정하는 지표이기 때문이다.

감마의 특징에 대해 알아보자. 같은 행사가격의 콜옵션과 풋옵션의 감마는 같으며, 모두 플러스(+)값을 같는다. 따라서 감마의 부호는 포지션에 따라 변하는데 콜, 풋 관계없이 매수이면 플러스(+), 매도이면 마이너스(-) 값을 갖게 된다. 또한 감마는 등가격(ATM)에서 최대값을 보이며, 내가격(ITM) 또는 외가격(OTM)으로 갈수록 그 값은 감소한다.

감마를 델타와 관련하여 알아보자. 지난주에 알아보았던 델타는 무척 중요한 지표이며(감마를 통하여 델타의 변화를 측정하는 것만 보더라도 델타가 대단히 중요한 민감도임에는 틀림없다), 델타를 헤지비율로 이용한다고 간단히 언급한 바 있다. 옵션을 이용하여 헤지거래를 할 때 델타의 변화를 지속적으로 관찰하여야 한다. 왜냐하면 델타가 변하면 헤지비율도 당연히 변하게 되므로 리밸런싱(옵션 포지션 조정)을 지속적으로 해야 하기 때문이다(리밸런싱을 하지 않으면 헤지 효율은 당연히 떨어질 것이다). 따라서 기초자산 가격이 변할 때 델타가 얼마나 변화하는가를 말해주는 감마가 필요한 것이다.

선물을 이용한 헤지에서는 리밸런싱이 필요 없는데, 그 이유는 선물의 델타는 기초자산인 KOSPI200과 같이 1이기 때문이다. 따라서 선물은 기초자산의 움직임과 항상 같으므로 선물의 감마는 0이 된다. 결국 선물을 이용한 헤지에서 리밸런싱이 필요없는 이유는 델타가 1이기 때문이다(즉, 선물의 감마가 0이기 때문이다).

예를 들어 보자. KOSPI200 인덱스 펀드를 보유한 상태에서 헤지를 하기 위해서는 선물을 매도해야 한다. 이를 델타로 표현해 보자. KOSPI200 인덱스를 보유하고 있을 때, 델타는 +1이다. 이 때 선물을 매도한다면 델타는 &8211;1이 된다. 결국 KOSPI200 인덱스 펀드를 보유하면서 선물을 매도하면 전체적으로 델타가 0(=+1-1)이 된다는 것을 알 수 있으며, 이를 델타 중립 포지션이라고 표현한다.

그러나 옵션의 델타는 행사가격에 따라 모두 다르다. 보통 델타가 0.5인 등가격(ATM)을 이용하여 헤지를 하는데, 헤지 당시의 등가격(ATM)옵션은 만기까지 등가격은 아닐 것이다. 즉, 시간이 흐르면서 KOSPI200의 방향성에 따라 외가격이 될 수도 있으며 내가격이 될 수 도 있다. 처음 헤지할 때는 델타가 0.5이었으나, 시간이 흐르면서 0.3이 될 수도 있고, 0.8이 될 수도 있는 것이다. 이에 따라 옵션의 포지션을 지속적으로 조정해 주어야 하는 것이다. 이를 리밸런싱이라고 한다.

결국 옵션을 이용한 헤지가 선물을 이용한 헤지에 비해 비용도 많이 들고, 관리도 어렵다는 것을 알 수 있다. 선물을 이용한 헤지와 옵션을 이용한 헤지의 차이점을 교과서에서는 다음과 같이 표현하고 있다. 헤지를 위해 선물을 이용했을 때는 헤지 후 잊어버리면 된다(Hedge and forget). 반면 옵션을 이용하였을 때는 헤지 후 리밸런싱해야한다(Hedge and rebalance).

위의 사례는 헤지를 위해 옵션을 이용하였을 때 감마의 중요성을 말한 것이다. 그러나 옵션의 투기적인 매매에 있어 감마는 더욱 중요하다. 먼저 결론부터 말하자면 “다른 조건이 일정할 때, 감마로 인해 옵션 매수자는 유리한 반면, 옵션 매도자는 불리하다.”

감마의 특징을 그림으로 살펴보면, 감마는 옵션의 손익이 곡선 형태를 띠고 있는 것으로 나타나는데(옵션의 만기 전 손익은 곡선형태이다) 이 때 볼록성(Curvature)이 감마이다. 채권의 이론적인 배경을 잘 알고 있다면, 채권의 특징 중 볼록성이란 개념을 알고 있을 것이다. 채권의 손익곡선도 원점에 대해 볼록한 모양을 하고 있으며, 채권에서는 이를 컨벡시티(Convexity)라 한다. 채권에서의 컨벡시티가 옵션에서의 감마와 같은 개념인 것이다. 채권도 이러한 볼록성으로 인해 이자율이 변할 때, 채권가격은 채권 매수자에게 유리한 방향으로 결정된다.

채권의 볼록성 효과를 그림을 통해 알아보도록 하자.

[그림 1] 채권의 볼록성 효과


위 그림에서 곡선은 채권의 손익곡선이다. X축은 이자율, Y축은 채권의 가격을 표시하고 있다. 만약 이자율이 하락할 때, 채권가격은 상승하는데 이 때 볼록성을 고려하지 않은 채권가격은 P0이 될 것이다. 그러나 채권가격의 볼록성으로 채권가격은 P0 보다 높은 P1에서 결정되는 것이다. 반대로 이자율이 상승할 때, 볼록성을 고려한 채권가격은 P4이 아닌 P3에서 결정되는 것이다. 왜 그럴까? 채권의 손익곡선이 볼록하기 때문이다. 이 때 P1과 P0, P3와 P4과의 차이를 컨벡시티 효과라 하며, 이로 인해 채권 매수자는 이자율이 상승하던 하락하던 보다 유리한 가격을 얻게 되는 것이다.

옵션도 채권과 마찬가지이다. 다음 그림은 콜옵션 매수자의 손익곡선을 나타내고 있다. 곡선은 옵션의 만기 전 손익 곡선을 보여주고 있으며, 직선은 만기시 손익 곡선이다. 또한 곡선과의 접선에서 그은 직선은 델타를 나타낸다.

[그림 2] 옵션의 감마효과


만약 KOSPI200이 상승한다면 델타로 측정된 콜옵션의 가격상승은 직선인 P1가 될 것이다. 그러나 감마를 고려한 옵션의 실제가격은 곡선인 P0이 된다. 반대로 KOSPI200이 하락하였을 때 델타로 측정된 옵션의 가격은 P4가 되나, 감마를 고려한 옵션의 실제 가격은 P3가 되는 것이다. 결국 옵션 매수자는 KOSPI200의 하락 또는 상승시 델타로 측정된 가격 보다는 유리한 가격을 얻게 되는 것이다(물론 이 때 옵션의 시간가치는 고려하지 않는다)

그러면 옵션 매도자에게 감마는 어떤 영향을 주는 것일까? 매수자와 반대 포지션을 보유하고 있는 옵션 매도자는 감마로 인해 불리한 입장에 놓이게 된다. 즉, KOSPI200의 하락으로 콜옵션 가격은 하락하겠지만 감마로 인해 충분히 하락하지 않으며 또한 KOSPI200 상승으로 콜옵션 가격은 옵션 매도자가 예상한 것 이상으로 상승한다. 결국 이러한 감마효과로 인해 옵션 매도자의 리스크는 커지게 된다.