(정대용의 사이버강의)국채선물옵션 이슈 II : 변동성

[edaily] 옵션시장은“오직 확실한 것은 바로 불확실성이다(the only certainty is uncertainty)"라는 가장 기본적인 전제에 그 근거를 두고 있다. 물론 Benjamin Franklin이 말했듯이 인간에게 가장 확실한 것은 "죽음"과 "세금"이라고 할 수 있지만……. 어쨌든 우리가 사는 현실세계에서 가장 기본적 전제조건인 “불확실성“이 금융시장에 영향을 미치고 있는 것은 분명한 사실이다. 옵션은 바로 이러한 불확실성을 거래하는 것이며 불확실성을 정의하기 위해 변동성이란 개념이 필요하게 된다. 변동성의 개념과 추정방법 국채 선물옵션의 가격은 선물가격, 행사가격, 만기까지의 잔존일수, 이자율, 그리고 선물가격의 변동성을 옵션가격결정모형(예를 들어, Black Model)에 입력하여 계산할 수 있다. 문제는 다른 변수들은 입력할 값을 쉽게 찾을 수 있으나 변동성의 경우 모든 사람들이 동의하는 값을 찾는 일이 쉽지 않다. 동일한 모형을 이용하더라도 입력하는 변동성의 값이 다르면 당연히 상이한 옵션가격을 얻게 되므로 옵션가격결정모형을 이용할 때 가장 중요한 일은 바로 변동성을 추정하는 것이다. 변동성의 변화에 대해 옵션가격이 얼마나 민감하게 반응하는가를 평가하고, 옵션의 시장가격이 적정한지를 판단하여 적절한 옵션포지션을 유지하기 위해서도 변동성의 추정은 매우 중요하다. 옵션가격결정뿐만 아니라 옵션거래에서 가장 많이 언급되면서도 정확하게 이해하지 못하고 있는 부분이 바로 변동성이다. 변동성에는 일반적으로 과거변동성, 실현변동성, 내재변동성의 세가지 개념이 널리 쓰이고 있다. (1)과거 변동성(Historical Volatility) 이는 국채선물가격의 과거 자료를 이용하여 변동성을 구하는 방법이다. 가장 널리 쓰이는 방법은 국채선물 종가의 수익률을 이용하여 표준편차를 구하는 것이다. 즉, (2) 실현 변동성 (Realized Volatility) 실현변동성은 옵션포지션을 취한 이후(예를 들어, 현재시점) 일정한 기간동안 기초자산인 선물의 가격이 실제로 얼마나 변동했는가를 측정하는 것이다. 옵션포지션의 이익은 실현변동성의 크기뿐만 아니라 실현변동성과 내재변동성의 차이에 의해 영향을 받는다. 실현변동성의 측정방법은 과거변동성의 측정방법과 동일하다. (3) 내재변동성 (Implied Volatility) 내재변동성은 시장에서 형성되는 옵션가격(프리미엄)으로부터 옵션가격결정모형을 이용하여 역으로 추정한 변동성으로서, 옵션의 잔존만기일까지 기초자산의 미래변동성에 대한 투자자들의 평균예상치라고 할 수 있다. Black(1976) 모형에 의하면 유럽형 국채선물 콜옵션가격(C)은 다음과 같이 결정된다. 옵션의 시장가격과 기타 변수들을 위의 식에 대입하면 옵션가격에 내재되어 있는 변동성을 얻을 수 있는데 이를 내재변동성(implied volatility)이라고 한다. 이는 Black(1976) 모형의 이론가격과 시장가격을 같게 해주는 가격변동성을 의미한다. *참조사항 시장에는 만기는 같으나 상이한 행사가격을 지닌 옵션들이 존재하기 때문에 각 옵션가격으로부터 산출한 내재변동성의 값이 일반적으로 다르다. 따라서 대표성을 지닌 내재변동성을 구하기 위해 여러 개의 내재변동성을 단순평균하는 방법과 베가로 가중해서 구하는 방법이 있다. 베가-가중(vega-weighted) 내재변동성은 일정 시점에서의 콜/풋옵션의 최근월물의 내재변동성을 베가-가중 평균한 것으로서 이는 베가가 높은 옵션(즉, 등가격옵션)의 내재변동성에 높은 가중치를 주는 것이다. 변동성 콘(Volatility Cone) 옵션가격을 결정하는 가장 중요한 요소는 기초자산 가격의 변동성이다. 옵션을 전문적으로 거래하는 투자자들이 왜 변동성을 중요시하며 현재의 옵션 시장가격에 내재되어 있는 변동성이 과연 적절한지를 분석함으로서 옵션가격의 고평가/저평가를 판단하려고 노력하는 이유가 바로 여기에 있다. 일반적으로 옵션투자자는 일정기간(예를 들어, 30일 또는 90일) 동안의 과거변동성과 내재변동성을 비교하여 옵션가격의 적정성을 판단한다. 그러나 변동성을 정확히 비교하려면 옵션의 만기일까지 남아있는 잔존기간과 같은 기간을 대상으로 산출한 과거변동성을 해당옵션의 내재변동성과 비교하여야 한다. 변동성 콘이란 일정한 기간별로 과거변동성을 구한 후 각 기간별 과거변동성의 최대값과 최소값을 구하여 상한선(upper bound)과 하한선(loer bound)를 표시한 것이다. 이러한 변동성 콘은 바로 옵션의 시장가격이 과연 적정한가를 판단하여 옵션투자에 참고할 수 있는 하나의 변동성 지표이다. 즉, 내재변동성이 해당옵션의 잔존기간과 동일한 기간에 해당하는 변돈성 콘의 상한선보다 높을 경우 고평가된 것으로 판단하고, 내재변동성이 해당옵션의 잔존기간과 동일한 기간에 해당하는 변돈성 콘의 하한선보다 낮을 경우 저평가된 것으로 판단한다. 변동성 미소(Volatility Smile) Black(1976) 모형에서는 선물가격이 `기하학적 브라우니안 운동"을 따른다고 가정하기 때문에 기초자산(국채 Basket)이 동일한 모든 옵션들의 내재변동성은 행사가격 또는 만기에 상관없이 모두 동일해야 한다. 그러나 실제 시장에서는 동일한 기초자산에 대한 옵션들이라 하더라도 행사가격 또는 만기에 따라 상이한 내재변동성을 갖는다는 사실을 쉽게 알 수 있다. 옵션거래자들도 블랙모형이 제시하는 옵션 이론가격보다는 옵션의 내재변동성과 특정 만기를 가진 옵션의 행사가격간의 관계에 더 큰 관심을 두고 있다. 이와 같이 행사가격 또는 만기에 따라 각 옵션이 상이한 내재변동성을 갖는다는 사실은 기초자산이 기하학적 브라우니안 운동을 따르지 않는다는 것을 의미하며, 옵션거래자들은 기초자산의 내재변동성과 특정 만기를 가진 옵션의 행사가격간의 관계에 주목하게 되었는데, 이 관계는 "변동성 미소(volatility smile)"라고 불리어진다. 이와 같은 이름이 붙은 이유는 물론 그림의 모양이 사람이 웃는 모습(입모양)을 닮았기 때문이다. 물론 내재변동성과 행사가격의 관계는 미소를 지을 때도 있고 찡그릴 때도 있으며, 입이 삐뚤어진 것과 같이 한쪽으로 경사진 경우도 있다. 그러나, 이러한 모든 경우를 포함하여 변동성 미소라 불린다. 예를들어, 만기가 3개월 남은 국채선물 콜옵션의 내재변동성과 (국채선물의 가격의 비율로 표시한) 행사가격의 관계를 그림으로 나타냈을 때 3개월 콜옵션의 변동성 미소가 [그림 2]과 같은 형태를 띤다고 하자. 변동성 미소의 형태에 함축된 의미는 내가격(in-the-money) 콜옵션의 경우, 즉 옵션의 행사가격이 현재의 국채선물 가격보다 낮은 영역에서는, 행사가격이 낮을수록 내재변동성이 높음을 알 수 있다. 반대로, 외가격(out-of-the-money) 콜옵션의 경우, 즉 옵션의 행사가격이 현재의 국채선물 가격보다 높은 영역에서는, 행사가격이 클수록 내재변동성이 높음을 알 수 있다. 그러면 이러한 변동성 미소가 옵션가격결정에 대해 갖는 의미는 무엇인가? 다른 변수들이 일정할 때 내재변동성이 크다는 것은 시장에서 옵션의 가격이 높게 형성되어 있음을 의미한다. 이는 국채선물의 변동성이 증가할수록 Black 모형이 높은 이론가격을 준다는 사실과 일치한다. 이제 Black 모형에서 가격변동성이 일정하다고 가정한 경우에 비해 실제 옵션가격이 어떻게 형성되는가하는 문제에 대해 변동성 미소가 갖는 의미를 살펴보자. 현재 국채선물의 역사적 변동성이 5%라고 하자. 이때 행사가격이 감소함에 따라 콜옵션 가격은 일정한 변동성(flat smile)의 경우에 비해 상승함을 알 수 있다. 따라서 내가격 콜옵션은 Black 모형이 제시하는 이론가격보다 높게 형성된다. 반대로 행사가격이 증가함에 따라 콜옵션 가격은 일정한 변동성의 경우에 비해 하락하게 된다. 결국 내가격 콜옵션 가격은 역사적 변동성에 의해 결정된 Black 모형의 이론가격보다 낮게 형성된다. 둘째, 옵션거래자의 측면에서 볼 때 국채 선물옵션의 내재변동성은 향후 국채선물의 변동에 대한 시장참여자들의 `평균적인 예상"을 반영한다고 볼 수 있다. 예를 들어, 국채선물 콜옵션을 매수하는 거래자는 시장의 상승세를 예상하고 있기 때문에, 외가격 콜옵션의 내재변동성이 작다는 사실은 시장이 상승할 때 변동성이 하락할 것이라고 시장참여자들이 예상하고 있다는 것을 암시하고 있다. 같은 논리로, 낮은 행사가격에 비해 높은 내재변동성은 시장이 하락할 때 변동성이 증가할 것이라는 시장참여자들의 예상을 암시하고 있다. 결론적으로 말해서, 옵션의 내재변동성이 미소(smile)를 지을 때, 이는 가격변동성이 일정하지 않다는 것을 암시한다.